Calculo Vectorial: Clase------------> 13 de Diciembre

REGLA DE LA CADENA

FORMA GENERAL DE LA REGLA DE LA CADENA

Sea: z=f(y1,…,ym) una función de m variables en la que cada variable es función de una sola variable independiente x. En consecuencia z será una función.

z=f(y1(x),…,ym(x))

De la variable x

m Variables intermedias y una final

z=f(y1,…,ym)

Una función diferenciable en m variables.

y1=y1(x),…,ym=ym(x)

Son funciones de x diferenciables. Entonces, z es una función de x diferenciable y se verifica:

∂z∂x=j=1m∂z∂yj∂yj∂x

Sea z=f(x,y) una función de dos variables. En primer lugar consideramos el caso en la que cada una de sus variables x e y son a su vez funciones de una variable independiente t con lo que:

z=f(x(t),y(t))

Será una función de t. Las variables x e y se denominan variables intermedias y la variable t variable final.

z=f(x,y)

Una función de dos variables diferenciables.

x=s(t) e y=y(t)

Son funciones de t diferenciables. Entonces, z es una función de t diferenciable y se verifica:

∂z/∂t= ∂z/∂x.∂x/∂t+ ∂z/∂y.∂y/∂t

Para una mejor comprensión esta los siguientes videos:

Dericadas direccionales

La derivada direccional permite tener información delcomportamiento de la función si sus variables se modificansiguiendo el sentido indicado por el vector gradiente

La Derivada direccional de f en p según el vector unitario ,uD_u f(p) ] es el producto escalar del gradiente en p, por ,a