Clase---------> 8 de Novimbre

superficies de segundo orden

Estan Representadas como:




Gráficas de superficies cuadráticas

Elipsoide.- Llamamos elipsoide a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

x2a2+y2b2+z2c2=1

Si coinciden los tres parámetros a = b = c, nos encontramos con el caso de una esfera.

 La ecuación :

x2a2+y2b2+z2c2=−1

Hiperboloide de una hoja.- Llamamos hiperboloide de una hoja a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

x2a2+y2b2−z2c2=1

Hiperboloide de dos hojas.- llamamos hiperboloide de dos hojas a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianas se determina por la ecuación:

x2a2+y2b2−z2c2=−1

Paraboloide elíptico.- Llamamos paraboloide elíptico a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

x2a2+y2b2=z

Puede ocurrir que la figura no coincida con el origen de coordenadas en el vértice; la ecuación toma entonces la forma:

x2a2+y2b2+k=z

Paraboloide hiperbólico.- Llamamos paraboloide hiperbólico a la superficie que en un sistema rectangular de coordenadas se determina por la ecuación :

x2a2−y2b2=−z

Esta figura se conoce con el nombre de silla de montar. Cuando la ecuación anterior toma la forma dada por la ecuación

x2a2−y2b2=z

Conos cuádricos.- Llamamos cono cuádrico o cono de segundo orden a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianas se determina por cualquiera de las ecuaciones:

x2a2+y2b2−z2c2=0;x2a2−y2b2−z2c2=0;−x2a2+y2b2−z2c2=0

La ecuación :

x2a2+y2b2+z2c2=0

determina un punto real único que es el (0,0,0) y recibe el nombre de ecuación del cono imaginario.

El punto singular del cono cuádrico es su vértice.

Cilindros cuádricos.- Podemos considerar varios tipos de cilindros cuádricos según que sus secciones paralelas al plano generatriz sean elipses, hipérbolas o parábolas.

En el primer caso tenemos el cilindro elíptico dado por la ecuación de la izquierda:

x2a2+y2b2=1;x2a2−y2b2=1

En el segundo caso se tiene el cilindro hiperbólico dado por ecuación de la derecha y en el tercer caso se obtiene el cilindro parabólico dado por cualquiera de las ecuaciones:

y2=2p⋅x;z2=2q⋅y;x2=2r⋅z

 

Análisis  de las superficies i) Intersección con las coordenadas                 Con el eje ox                 Con el eje oy                 Con el eje oz ii) Intersección con los planos coordenados                   Con el plano xoy                   Con el plano xoz                  Con el plano yoz iii) Intersección con los planos paralelos a los planos coordenados                   Con planos paralelos al plano xoy                   Con planos paralelos al plano xoz                  Con planos paralelos al plano yoz Bibliografia http://es.slideshare.net/amjiimmi010/superficies-35338557 http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-cuadraticas.shtml https://www.fing.edu.uy/inco/cursos/compgraf/Clases/2012/09-Curvas%20y%20Superficies.pdf Bbi B