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Geometria en el espacio

 En Geometría analítica del espacio, en cambio, tales ecuaciones contienen, en general, tres variables, y, es evidente, que la presencia de esta variable adicional traerá una mayor complicación analítica que las relaciones con el plano . Además, la tercera dimensión de la Geometría analítica del espacio exigirá más trabajo para poder de visualizar las figuras en el espacio que el que requiere para figuras en el plano.

Sea R 3 el conjunto de ternas ordenadas de números reales, esto es,

 R 3 = R × R × R = {(x, y, z); x ∈ R, y ∈ R, y z ∈ R}. 

Dadas dos ternas ordenadas (x, y, z), (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R 3 son iguales si, y sólo si x = x 0 , y = y 0 y z = z 0 . Como veremos, cada terna ordenada (x, y, z) ∈ R 3 se puede asociar de manera única con un punto del espacio, y cada punto del espacio se puede asociar en forma única con una terna ordenada de números reales mediante un sistema de coordenadas cartesianas rectangular en tres dimensiones.
Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en el punto común 0, tal como se indica en la siguiente figura:

EN R2

·                     Geométricamente una función implícita representa una CURVA en R2

·                     Cada función implícita genera una curva en R2 y su intersección genera 1 o mas puntos.

EN R3     

         f(x,y)=0--> representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje z.  

 f(x,z)=0-->Representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje y 

f(y,z)=0-->Representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje x

·                     Geométricamente representa una SUPERFICIE en R3

·                     f(x,y,z)=0 es de primer orden entonces representa un PLANO

·                     La intersección de dos superficies cilíndricas genera CURVAS

Ecuaciones de un plano

Ecuación canónica o segmentaria del plano

                  

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

Ecuación segmentaria corta a los ejes en 3 puntos

Un plano π no paralelo a ninguno de los tres ejes, y que no pasa por el origen, corta a los ejes en tres puntos.

   

Ejemplo

Ecuación normal: punto y vector normal

La recta en R3

Datos: Mo (ro)
            a=(l,m,n) 

PD: Ecuacion de la recta

Ecuación vectorial de la recta: r=ro+ta

Ecuaciones paramétricas de la recta:  

x=xo+tl

y=yo+tm

z=zo+tn

Ecuaciones cartesianas o canónicas de la recta: 

(x-xo)/l=(y-yo)/m=(z-zo)/n

                  Anexo video de explicacion y ejercicios 

Bibliografia :

http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase/vectoresR3.pdf

http://www.vitutor.com/analitica/recta/ecuaciones_plano.html

http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-un-plano.htm

http://slideplayer.es/slide/3152082/